Nota: Se você nunca usou a Caixa prioritária, experimente: ela reorganiza seu e-mail no que é e o que não é importante, e você pode personalizar como ele classifica as mensagens com facilidade. A ideia é que ela aprenda com o tempo, por isso, se você enviar muitos e-mails com alguém, saberá que eles provavelmente são importantes - você também pode ajustar manualmente as configurações.
Definir a Caixa prioritária como caixa de entrada padrão para ativar notificações somente importantes
Abra o aplicativo do Gmail, pressione Menu -> Mais -> Configurações, e você poderá marcar a caixa Caixa prioritária para torná-lo a caixa de entrada padrão. Isso significa que, toda vez que você abrir o Gmail, a Caixa de entrada prioritária será exibida, em vez da caixa de entrada normal.
Acessando a Caixa prioritária (sem definir como padrão)
Se você ainda deseja ter todas as notificações para cada e-mail, não precisa definir a Caixa prioritária como padrão, e ainda pode acessar a pasta em Rótulos -> Caixa prioritária. Você provavelmente também notará que, se você Faz mudar o padrão, é assim que você pode voltar para a sua caixa de entrada normal.
Alterar a configuração de sincronização da caixa prioritária
Uma coisa que percebi logo depois de fazer a mudança é que o Priority Inbox não sincroniza tudo por padrão - só vai sincronizar os últimos quatro dias. Se você quiser fazer essa alteração para Todos, vá para Menu -> Mais -> Configurações -> Sincronização no aplicativo do Gmail e altere o valor para lá.